Народився 8 січня 1956 р. у смт Голоби Ковель­сь­кого району Волинської області в сім’ї службовців. Здобувши загальну середню освіту, одразу ж розпочав свій трудовий шлях. Спочатку працював на Голобському плодоконсервному заводі заготуправління Волинської облспоживспілки, а згодом — у Голобському бурякопункті Володимир-Волинського цукрозаводу Львівського міжобласного бурякоцукротресту Мінхарчпрому УРСР. Ще тоді А. І. Брезвін зрозумів: щоб досягти успіху, треба багато й наполегливо працювати. У 1974–1976 рр. проходив строкову службу інструктором військової частини в лавах Збройних сил СРСР. Після демобілізації вирішив стати економістом, адже ще зі шкільних років захоплювався точними науками.

З лютого по липень 1977 р. відвідував курси підготовчого відділення Київського інституту народного господарства імені Д. С. Коротченка. У вересні 1977 р. став студентом обліково-економічного факультету цього вишу за спеціальністю «Бухгалтерський облік в промисловості». У 1981 р. закінчив інститут, здобувши кваліфікацію економіста-фінансиста.

Після закінчення вишу А. І. Брезвін працював старшим економістом відділу фінансів виконкому Київської міської ради народних депутатів. З 1984 до 1987 р. обіймав посаду заступника завідувача, начальника інспекції державних доходів фінвідділу виконкому Подільської районної ради народних депутатів м. Києва.

У 1987–1998 рр. був депутатом Мінської районної ради народних депутатів.

У 1990 р. було створено Державну податкову службу України. А. І. Брезвін очолив установу в Мінському районі столиці і активно долучився до розробки та підготовки необхідних законодавчих актів. У 1996 р. виконував обов’язки голови Державної податкової адміністрації м. Києва.

Ще будучи студентом КІНГу ім. Д. С. Коротченка, Анатолій Іванович почув на одній із лекцій мудру істину, сформульовану багато століть тому давньогрецьким філософом Сократом: «Є тільки одне благо — знання». Ці слова добре запам’яталися Анатолію Брезвіну й стали одним із головних принципів його життя. Він вирішив не зупинятися на досягнутому і здобути другу вищу освіту. Так, у 1998–2001 рр. навчався в Українській академії зовнішньої торгівлі за спеціальністю «Міжнародне право». У 2001 р. став кандидатом економічних наук, захистивши дисертацію на тему «Економічні методи регулювання промислової переробки сільськогосподарської продукції» в Інституті аграрної економіки УААН.

У 1998–2006 рр. А. І. Брезвін обіймав посади заступника голови Державної податкової адміністрації України та голови Державної податкової адміністрації м. Києва, а у 2006 р. — голови Державної податкової адміністрації України. У 1998–2014 рр. був депутатом Київської міської ради. Упродовж 2010–2011 рр. обіймав посаду голови правління АБ «Укргазбанк».

З 2011 р. і до сьогодні — президент Федерації хокею України (ФХУ). Анатолій Іванович займається розвитком спорту та відкриттям професійних льодових арен, підтримує створення любительських та професійних команд. За час його перебування на посаді президента ФХУ урядом України прийнято державну цільову програму «Хокей України», метою якої є створення 12 сучасних спортивних споруд зі штучним льодом. Першим став спорткомплекс «Лідер» у м. Донецьку. Пізніше збудовані арени в містах Калуші, Херсоні та Харкові. Також були реконструйовані дві головні криті арени країни: Палац спорту в м. Києві та Палац спорту «Дружба» в м. Донецьку.

За наполегливу, цілеспрямовану та самовіддану працю нагороджений орденом «За заслуги» трьох ступенів, медаллю «За трудовое отличие», почесним званням «Заслужений економіст України», орденом «За розбудову України» ім. Михайла Грушевського ІV ступеня, орденом князя Ярослава Мудрого V ступеня.

Анатолій Іванович захоплюється активними видами спорту, пропагує здоровий спосіб життя. Впевнений, що досяг великих успіхів у своїй професійній кар’єрі завдяки гармонійному поєднанню роботи та улюбленої справи, які стали для нього абсолютними синонімами.

Також А. І. Брезвін переконаний, що природні задатки та здібності, помножені на постійні, невтомні й завзяті зусилля, обов’язково дадуть гідні плоди. Його життєве кредо: «Працюю на результат!».