Народився 30 грудня 1915 р. на ст. Родакове Слов’яносербського району Луганської області у родині робітника-залізничника.

Одразу після закінчення школи Олександр Ляшко став учнем слюсаря-інструментальника у залізничному депо. В 1935 р. закінчив Луганський автошляховий технікум і почав працювати на автогосподарстві Кадіївського коксохімічного заводу, де з часом обійняв посаду начальника автобази. Згодом Олександр Павлович став викладачем і завучем обласної школи автомеханіків у м. Артемівськ.

У 1937 р. вступив у Донецький індустріальний інститут, обравши фах інженера-механіка-металурга. Влітку 1941 р. Олександр Ляшко у складі загону добровольців був зарахований до 2-го Харківського танкового училища, де отримав звання лейтенанта.

У період Великої Вітчизняної війни О. П. Ляшко командував танковими взводом і ротою на Північно-Кавказькому та Закавказькому фронтах. У 1943 р. був направлений на курси перепідготовки командирів самохідної артилерії у Самарканд, закінчивши які впродовж двох років працював викладачем місцевого танкового училища.

У 1945 р. Олександр Павлович влаштувався на Новокраматорський машинобудівний завод, де продемонстрував свої інженерно-технічні та організаторські здібності. Водночас продовжив перерване війною навчання у Донецькому індустріальному інституті. Через два роки, отримавши диплом, став начальником цеху, заступником директора та парторгом ЦК ВКП(б) на заводі. Він заглибився у роботу ключових галузей господарства: знайомився із процесом видобутку вугілля, особисто відвідував об’єкти важкої промисловості, досліджував проблеми сільськогосподарського виробництва. Олександр Ляшко зарекомендував себе як людина, яка вирішує важливі питання господарства, жорстко контролюючи виконання доручень, принципово реагуючи на порушення законів і моральних норм.

Як член Комуністичної партії (з 1942 р.), О. П. Ляшко протягом 1952–1954 рр. працював першим секретарем Краматорського міського комітету, а з 1960 р. — першим секретарем Донецького обласного комітету КПУ. В 1963 р. запрошений до ЦК КПУ, де впродовж шести років був секретарем і другим секретарем.

У 1969–1972 рр. очолював Президію ВР УРСР, і зумів підвищити престиж законодавчого органу республіки. З 1972 до 1987 р. Олександр Павлович був головою Ради Міністрів УРСР. Навесні 1986 р. став керівником Республіканської урядової комісії з ліквідації наслідків аварії на ЧАЕС. Саме він ініціював евакуацію п’ятдесятитисячного населення Прип’яті, незважаючи на опір верховного партійного керівництва.

У непрості часи перебудови, перебуваючи на заслуженому відпочинку, О. Ляшко в 1989 р. очолив комісію Верховної Ради УРСР із реабілітації громадян, репресованих у 1930–1940-х та 1950-х роках.

Відповідальність, принциповість, наполегливість у виконанні службових обов’язків, цілеспрямованість, неабиякий талант організатора, активна життєва та зважена громадянська позиція стали запорукою його професійного й особистого успіху на всіх посадах.

Велику увагу Олександр Павлович приділяв розвитку освіти та культури. Він часто відвідував академічні інститути, цікавився результатами досліджень, новими технологіями, економічним ефектом від їх впровадження тощо. Опікувався збереженням і відновленням пам’яток історії, зустрічався із творчою інтелігенцією, ученими, діячами мистецтва, підтримував їхні ідеї.

О. П. Ляшко — автор книг спогадів «Путь выживания» (1979), «Путь в номенклатуру» (1997), «Груз памяти» (1997–2002), «На ступенях власти» (2001).

За вагомий особистий внесок у розвиток вітчизняної економіки, науки і культури нагороджений орденами Леніна (1965, 1971, 1973, 1975, 1977, 1985), Трудового Червоного Прапора (1957, 1958), Вітчизняної війни I ст. (1985), Богдана Хмельницького, князя Ярослава Мудрого V ст. (2000), «Прапора Угорської Народної Республіки у лавровому вінку» та 20-ма медалями.

Помер 9 жовтня 2002 р. Похований на Байковому кладовищі в Києві.