Народився 25 вересня 1932 р. у Донецьку в шахтарській родині. Батьки захоплювалися аматорськими оперними виставами, тож любов до музики та співу була невипадковою. Змалку Анатолій брав участь у художній самодіяльності.

Після закінчення школи впродовж 1949–1954 рр. навчався на гірничому факультеті Донецького політехнічного інституту. На концертах у виші виступав із сольними номерами у супроводі інструментального ансамблю. У 1952 р. Анатолій Солов’яненко спробував вступити до Ленінградської консерваторії. Згодом закінчив аспірантуру ДПІ та почав працювати асистентом кафедри графіки й нарисової геометрії. Увесь цей час удосконалював вокальне мистецтво, навчаючись у заслуженого артиста УРСР, видатного співака-тенора О. М. Коробейченка.

У 1962 р. виступ гірничого інженера Анатолія Солов’яненка на концерті художньої самодіяльності у Києві став сесаційним: він упевнено і професійно виконав кілька романсів до світового тенорового репертуару. Був зарахований стажистом до Державного академічного театру опери й балету ім. Т. Г. Шевченка. В 1963 р. отримав право стажуватися у театрі «Ла Скала» (Мілан). Провідну роль у становленні А. Б. Солов’яненка відіграв керівник — маестро Дженнардо Барра, котрий покращив культуру виконання, розкрив яскравість і своєрідність ліричного тенору свого учня. Анатолій Борисович досконало вивчив італійську мову, знання якої у подальшому допомогло оволодіти італійським стилем та віртуозно виконувати вокальні партії. Через два роки він переміг на конкурсі естрадної пісні «Неаполь проти всіх».

Повернувшись до Москви, виступав у Великому театрі, брав участь у гастрольних поїздках республіками Союзу.

З 1965 до 1995 р. А. Б. Солов’яненко — соліст Державного академічного театру опери й балету ім. Т. Г. Шевченка. У 1967 р. був удостоєний звання заслуженого артиста УРСР, в 1975 р. — народного артиста СРСР. У 1978 р. став випускником Київської консерваторії.

У репертуарі Анатолія Борисовича — 17 оперних партій, багато арій, романсів, народних пісень. Він записав 18 платівок, гастролював Болгарією, Румунією, НДР, Японією, Австралією, Канадою, Італією, Францією, кілька сезонів співав у Нью-Йоркському театрі «Метрополітен-опера» (1977–1978), де виконував партії в операх Р. Штрауса, Д. Верді, П. Масканьї.

У виконанні Анатолія Солов’яненка українські народні пісні стали зразком майстерності для наступних поколінь співаків. Серед його найкращих партій — Андрій («Запорожець за Дунаєм» С. Гулака-Артемовського), Фауст (однойменна опера Ш. Ґуно), Альфред («Травіата» Дж. Верді), Надір («Шукачі перлин» Ж. Бізе), Рудольф («Богема» Дж. Пуччіні). Світові знавці оперного співу визнали, що виконання А. Б. Солов’яненка пісні герцога в «Ріголетто» Дж. Верді — вершина його таланту, а видатні митці сцени Пласідо Домінґо і Лучано Паваротті вважали, що майстерність А. Б. Солов’яненка не поступається їхній.

У 1980 р. Анатолій Борисович став лауреатом Ленінської премії, грошову винагороду за яку перерахував у Фонд Миру. У 1997 р. удостоєний Державної премії ім. Т. Г. Шевченка.

«Жодної хвилини не витратити даремно» — промовисте кредо улюбленого народного співака. Його життя було наповнене безперервною напруженою працею над удосконаленням виразного живого голосу, любов’ю до співу.

Анатолій Солов’яненко — один із небагатьох українських співаків (поруч із Володимиром Мишугою, Соломією Крушельницькою, Борисом Гмирею, Іваном Козловським, Євгенією Мірошниченко), завдяки яким світ дізнався про унікальність української культури, красу пісенної творчості нашого народу.

На вершині слави та визнання 29 липня 1999 р. життя А. Б. Солов’яненка обірвалося. Похований у м. Козин Київської області.

Ще у 1985 р. на екрани вийшов фільм «Прелюдія долі», присвячений творчості Анатолія Борисовича. У 2002 р. у сквері біля Донецького державного академічного театру опери й балету, який нині носить його ім’я, було відкрито пам’ятник. Постамент і меморіальну дошку на честь генія встановлено на вулиці Інститутській у Києві.

Анатолій Солов’яненко завжди з великою повагою ставився до alma mater. Неодноразово виступав на ювілеях університету, запрошував колег по кафедрі інженерної графіки і нарисної геометрії на свої концерти. Багато років він товаришував із завідувачем кафедри вищої математики професором В. В. Паком. На честь видатного випускника зараз кращим студентам-механікам ДонНТУ присуджується стипендія імені Героя України А. Б. Солов’яненко.